Fisica non lineare: storia del ponte sul Tacoma Narrows

A voler essere sinceri con voi che leggete dovrei dire che questo studio riguarda alcuni aspetti della fisica non lineare. Ma queste due parole, “fisica” e “non lineare”, rischierebbero di mettere in fuga molti lettori. Dirò allora che questo studio riguarda un ponte che oscilla in maniera incredibile. E che non dovrebbe. Una storia realmente successa. E filmata. Ma ancora fino a qualche anno fa non esattamente compresa. Questo articolo si basa su un esercizio di analisi numerica presentato in [3], estratto dagli articoli scientifici di McKenna e Tuama [1] e [2]. Il codice è stato però interamente riscritto da zero, con l’intenzione di veicolare un messaggio tanto semplice quanto spesso non troppo comune (almeno in Italia): ossia, che i computer rendono “direttamente visibili” le equazioni, ossia la fisica.

Ci sono alcuni punti che vorrei che portaste con voi dopo la lettura di questo articolo (take-home points):

1) La Natura è complessa. Anche se tavolta sarebbe piu’ semplice non lo fosse.
2) La Natura è complessa e talvolta lo stupore si annida in questa sua complessità.
3) Se vedete un ponte sospeso in una giornata di vento, ricordatevi di questo articolo.
4) Se vedete un ponte oscillare come fosse di gomma, non attraversatelo.
5) La fisica può essere visualizzata. Quasi sempre.

Iniziamo il nostro viaggio.

Il 7 novembre 1940 un forte vento laterale di 64 km/h induce inizialmente movimenti verticali nel ponte di Tacoma. Questo genere di oscillazioni erano gia’ state osservate anche in precedenza: si era quindi provveduto a dotare il ponte di alcuni accorgimenti per smorzare le vibrazioni. Che tuttavia (come ben evidente nel video!) risultarono inutili. Quel giorno però accade qualcosa di ancor più anomalo: il ponte comincia a mostrare moti torsionali, per i quali risulta totalmente vulnerabile: alle ore 11.00 locali il Tacoma Narrows Bridge collassa nel canale che collega le città di Tacoma e Gig Harbor.

La commissione di inchiesta che studiò le cause del collasso non giunse ad una spiegazione esaustiva: si individuò nell’instaurarsi di vortici aerodinamici (“Vortici di Von-Karman”) una delle cause principali del collasso. Ma questi vortici, che sono responsabili di un moto verticale sull’intera campata del ponte ad andamento sinusoidale nel tempo, da soli non riescono a spiegare il collasso, poiché le frequenze indotte dal vento non sono simili a quelle di risonanza della struttura o di sue parti portanti. Viene cioè a mancare la condizione base per mettere in risonanza il ponte con la sollecitazione esterna del vento. Resta poi il mistero di come una sollecitazione in direzione verticale possa aver indotto moti torsionali così evidenti e pronunciati.

McKenna e Tuama nel 1999 [1] hanno proposto una teoria interessante che potrebbe completare il puzzle finora irrisolto. Cosa succederebbe se i cavi di sostegno della sede stradale fossero modellizzati da molle non-lineari al posto di comuni molle lineari? Potrebbe una forza puramente verticale (i vortici generati dal vento) generare dei moti torsionali? O, come logica vorrebbe, solo movimenti verticali? (Dopo tutto la forza è solo verticale…). Quali condizioni iniziali sono richieste perché ciò avvenga?

Tutti noi conosciamo le molle. Dai nostri materassi fino al bungee-jumping, il mondo che ci circonda è descritto da oggetti fisici che oppongono una forza di richiamo se allungati, e da una forza di espansione se compressi: tutti questi oggetti, siano essi cavi, funi, elastici possono essere descritti fisicamente col modello della “molla”. Chiamiamo “molla lineare” un qualunque oggetto che esprima una forza fisica contraria al suo allungamento/compressione secondo la legge:

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Cosa significa questo? Che ad esempio un allungamento doppio produrrà una forza di richiamo doppia. Nel piano “Forza vs. Allungamento” questa relazione è descritta da una retta. Per quanto molti modelli fisici ed ingegneristici approssimino il comportamento di un oggetto elastico con la “molla lineare”, purtroppo non sempre questo è lecito, come vedremo nel caso del ponte sul Tacoma Narrows.

Cosa succederebbe infatti se ipotizzassimo che le funi che sostenevano la sede stradale avessero un comportamento leggermente non-lineare? Ossia se esercitassero una forza di richiamo diversa da quella di espansione a parità di allungamento (o accorciamento)? Supponiamo che le funi del ponte seguissero una legge non-lineare, con una non-linearità espressa in funzione di un parametro “a” (una costante).

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La figura seguente, che rappresenta la forza che esercita una molla in funzione di quanto viene allungata o accorciata, chiarisce il succo della questione più delle formule. Nel caso non lineare la forza esercitata dalla molla, rappresentata in rosso, non segue perfettamente la retta passante per l’origine (molla lineare, rappresentata in blu), ma si discosta da essa: non di molto, ma di quel tanto che basta per poter dire che la molla non-lineare eserciterà una forza maggiore se allungata rispetto a quando sarà compressa.

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E’ interessante notare come per buona parte del grafico le due curve siano molto ben sovrapponibili. Quindi sarebbe lecito approssimare la non-linearità con la linearità… O forse no? Il modo più semplice, ma anche meno matematico, di risolvere la faccenda è di testare il modello.

Approssimeremo la forza esercitata dal vento con una sinusoide:

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la cui ampiezza è scelta appositamente per innescare i moti torsionali. Non tutti i valori di A infatti sono sufficienti ad amplificare i moti torsionali: questo rappresenta un elemento critico in ogni sistema non-lineare, in quanto solitamente alcuni fenomeni possono apparire solo con determinate condizioni iniziali. Il che rende l’analisi dei sistemi ancor più delicata. Infatti questo comporta che in fase di progettazione si debba aver cura di indagare quali valori plausibili possano verificarsi nei parametri di un problema, con l’incognita però che anche un piccolo errore o una negligenza in questo studio possa poi comportare problemi grossi nel mondo reale, qualora si verifichino condizioni non ben investigate in fase di progettazione.

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Nel momento più critico il vento faceva oscillare verticalmente il ponte una volta ogni due secondi (ω≈3)(NOTA 1).Il nostro modello, supersemplificato, descriverà il moto di una barra rigida (ossia la sede stradale di larghezza 12 metri) sotto l’azione del vento, nel caso in cui sia sostenuta da cavi lineari e non-lineari. A riposo la sede stradale si troverà ad una altezza tale per cui la forza esercitata dalle molle sulla barra bilancia esattamente il peso della barra stessa: chiameremo y lo scostamento della sede stradale da questa posizione di equilibrio. I due set di equazioni differenziali che descrivono il moto della strada nel caso lineare e non-lineare sono rispettivamente:

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Il video allegato (Link) mostra la risoluzione di questo sistema di equazioni, con maggiore attenzione al caso non-lineare. Le condizioni iniziali sono riportate nella tabella 1 e sono quelle suggerite in [3]. Si noti come attorno ai 200 secondi il moto del caso non-lineare cominci ad essere totalmente differente rispetto a quello lineare (mostrato nella figura in piccolo).

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In particolare è interessante ricordare cosa successe quel giorno, dalle parole del professor F.B. Farquharson, testimone dell’evento: “…fu notato un violento cambio nel moto. Questo cambiamento sembrò accadere senza nessun preavviso e con una così estrema violenza che la sede stradale apparve capovolgersi completamente”. Nel video questa transizione sembra avvenire in effetti abbastanza bruscamente e inaspettata.

Affinché possa avvenire questa transizione alcune specifiche condizioni iniziali sul sistema devono essere richieste. Ad esempio un piccolo angolo iniziale deve essere presente. Questo significa che un ponte perfettamente rigido, che non oscilli lateralmente (angolo perfettamente uguale a zero), non darebbe il via a moti torsionali. Questo aspetto merita qualche parola in più, in quanto legato col punto (2) della premessa all’articolo. Chi di voi abbia mai visto Jurassic Park (il primo, quello vero!) avrà sicuramente sentito parlare dell’effetto farfalla, secondo il quale un battito di ali a Pechino produrrebbe un uragano a Miami. Che non è altro che non una stupenda immagine per introdurre il concetto di caos. Uno degli aspetti che contraddistingue un sistema caotico è la forte dipendenza dalle condizioni iniziali. Una piccola variazione nelle condizioni iniziali porterà due sistemi identici ad avere comportamenti molto diversi dopo un certo lasso di tempo. Ciò che spesso sfugge è che la ragione matematica, e fisica, di tutto questo si annida nel fatto che le equazioni che descrivono un sistema sono non-lineari! Il fatto che ci sia una non-linearità (proprio come nelle nostre strane molle del ponte) può portare ad una forte dipendenza dalle condizioni iniziali.

Cosa implica questo? Che anche un piccolissimo angolo iniziale nella campata del ponte (centesimi di radiante, del tutto possibili in condizioni di vento) può fare una differenza abissale alla lunga. Da notare infatti come pure il caso lineare, nel video, abbia le stesse condizioni iniziali.

Per chiudere è bene ricordare i take-home points:

1) La Natura è complessa. Anche se tavolta sarebbe piu’ semplice non lo fosse.
2) La Natura è complessa e talvolta lo stupore si annida in questa sua complessità.
3) Se vedete un ponte sospeso in una giornata di vento, ricordatevi di questo articolo.
4) Se vedete un ponte oscillare come fosse di gomma, non attraversatelo.
5) La fisica può essere visualizzata. Quasi sempre.

Con l’aggiunta di un sesto punto:

6) Battiti di ala e uragani non sono poi così distanti concettualmente da ponti che crollano.

Nota 1: NOTA1

Scarica questo articolo in pdf: SR – Fisica non lineare storia del ponte sul Tacoma Narrows

Bibliografia:
[1] McKenna, P.J., “Torsional oscillations in suspension bridges revisited: fixing an old approximation,” Amer. Math. Monthly, 106, 1-18 (1999).
[2] McKenna, P.J. and O Tuama, C., “Large torsional oscillations in suspension bridges visited again: vertical forcing creates torsional response,” Amer. Math. Monthly, 108, 738-745 (2001).
[3] http://www.sml.ee.upatras.gr/uploadedfiles/00-!ode-ch6-nice!.pdf

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